3.สัจพจน์หรือข้อตกลงขั้นมูลฐาน
บางครั้งมนุษย์เราต้องการอธิบายให้ผู้อื่นยอมรับสิ่งที่พูดนั้นเป็นจริง เมื่อต้องการให้ผู้อื่นยอมรับในสิ่งที่พูด ว่าเป็นจริง ก็ยอมรับที่จะแสดงเหตุผลเพื่อให้เป็นที่ยอมรับ โดยทำโครงการแสดงเหตึชุผลประกอบ และใช้ประโยคคำพูดขยายข้อความเป็นประโยคที่ 2 ถ้ายังไม่เป็นที่ยอมรับก็ต้องอธิบายต่อไปอีกโดยใช้คำพูดประโยคที่ 3 ซึ่งถ้ายังไม่เป็นที่ยอมรับ ก็ต้องหาคำพูดประโยคต่าง ๆ มาขยายความอีก จนกว่าจะถึงคำพูดประโยคที่ผู้อื่นเห็นจริงด้วย จึงหยุดได้
ในบางครั้งผู้อธิบายก็จนปัญญาที่จะหาคำมาพูดอธิบายต่อไป เพราะคำพูดประโยคที่นำมาใช้ขยายความให้เข้าใจก็มีจำกัด บางครั้งก็เกิดการวกเวียนมาใช้คำพูดประโยคเดิมอธิบายอีก ข้อความที่ต้องการการแสดงเหตุผลให้เป็นที่ยอมรับจึงสามารถทำได้ วิธีการเช่นนี้ก็ถือว่าเป็นการแสดงเหตุผลประกอบแล้วเกิดการวกเวียนกลับมาใช้คำพูดประโยคเดิม ก็ถือว่าข้อความที่พูดนั้นพิสูจน์ให้เห็นจริงไม่ได้
ในบางครั้งสิ่งที่มนุษย์กล่าวไว้ ก็มีความจริงในตัวเอง เป็นที่ยอมรับโดยอาศัยกฎของธรรมชาติ โดยไม่มีข้อโต้งแย้งมาตลอด เช่น คนทุกคนต้องตาย สิ่งทั้งหลายต่างเท่ากับตัวของมันเองบางครั้งสิ่งที่มนุษย์มีความเชื่อร่วมกัน โดยไม่สามารถจะแสดงให้เห็นจริงได้ เช่น เชื่อว่า”ทำดีได้ดี ทำชั่วได้ชั่ว” “ความจริงเป็นสิ่งไม่ตาย” กฎการดำรงชีวิตอย่างมีความสุขคือไม่เคร่งเครียดไม่ย่อหย่อนแต่ในลักษณะพอดี เป็นต้น
นักคณิตศาสตร์ได้มองเห็นปรากฏการณ์ที่ได้กล่าวมาแล้ว จึงตกลงกันว่า ในการเริ่มต้นเรียนรู้วิชาการใด ๆ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องมี ข้อตกลง หรือ กติกา หรือความเชื่อร่วมกัน เพื่อเป็นหลักยึดเป็นเบื้องต้น โดยไม่ต้องพิสูจน์หาเหตุผลมาสนับสนุนข้อตกลงเหล่านั้น หลักการที่ยึดถือร่วมกันโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์หาเหตุผลมาประกอบ เรียกว่า ข้อตกลงขั้นมูลฐาน หรือสมมติฐาน หรือสิ่งที่เห็นจริงแล้ว หรือ กติกา ชื่อต่าง ๆ เหล่านี้ จะรวมเรียกว่า สัจพจน์
4.ทฤษฎีบท
ข้อความที่สามารถหาเหตุผลมาประกอบให้เป็นที่ยอมรับได้ เราเรียกว่า ทฤษฎีบท วิธีการที่เราสามารถหาเหตุผลมาแสดงให้เป็นที่ยอมรับได้ เรียกว่า การพิสูจน์ การแสดงการพิสูจน์ เราอาศัยอนิยาม หรือสัจพจน์ หรือ ความจริงที่เคยพิสูจน์มาแล้ว มาอ้างอิง ก็จะได้ทฤษฎีบท การพิสูจน์ทฤษฎีบทยังอาศัยเหตุผลเชิงนิรนัย ซึ่งเป็นหลักการที่นักคณิตศาสตร์ยอมรับ ข้ออ้างอิงที่ใช้ในการประกอบเหตุผลก็จะเป็น อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว
วิธีการเชิงสัจพจน์ อาศัยองค์ประกอบ 4 ประการ เพื่อสร้างระบบที่ดี ต่อไปนี้
1.กลุ่มของคำ (พจน์) ที่ต้องไม่ต้องให้คำจำกัดความ ที่เรียกว่า กลุ่มของ
อนิยาม และกลุ่มของคำ (พจน์) ที่ให้คำจำกัดความได้ ที่เรียกว่า นิยาม
2.กลุ่มข้อความ (ประโยค หรือ ประพจน์) ที่ยอมรับว่าเป็นจริง โดยไม่ต้อง
แสดงเหตุผลประกอบการพิสูจน์ ที่เรียกว่า สัจพจน์
3.การแสดงเหตุผลโดยอาศัยเหตุผลเชิงนิรนัย หรืออาจเรียกว่าเป็นการแสดง
เหตุผลโดยอาศัยหลักเกณฑ์ของเหตุผล(Rules of Reasoning) ที่จะต้อง
ดำเนินตามกระบวนการพิสูจน์ที่เชื่อมโยงข้อความหนึ่งกับอีกข้อความหนึ่งที่อยู่
ถัดมา
4.ทฤษฎีบท ซึ่งเป็นความจริงที่พิสูจน์แสดงเหตุผลได้ โดยการอ้างอิงข้อ 1
หรือ ข้อ 2 และโดยการใช้ข้อ 3 หรือข้ออ้างอิงทฤษฎีบทที่มีการพิสูจน์แล้ว
จุดประสงค์ของระบบสัจพจน์ก็คือ ทำให้เกิดการพัฒนาที่มีลำดับที่ดีโดยผลลัพธ์ที่ซับซ้อนยุ่งยากจะไดมาภายหลังผลลัพธ์ที่ง่าย หรือมาจากสัจพจน์ที่กำหนดไว้ก่อน นอกจากนี้ในการเลือกเซตของสัจพจน์ที่ใช้ในระบบก็จำเป็นต้องเลือกให้เหมาะสม วิธีง่าย ๆ ในการเลือกสัจพจน์ก็คือ เลือกข้อความที่ชัดเจน แต่ก็อาจจะมีบางครั้งที่ผิดแปลกไปจากธรรมดาในโลกกายภาพบ้างก็ได้ ซึ่งจะเห็นได้ใน เมื่อเรามีโอกาสได้ศึกษาต่อ ๆ ไปในการพัฒนาเรขาคณิตไม่ใช่ระบบยูคลิค ซึ่งยอมรับสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับเรขาคณิตระบบยูคลิค
ระบบสัจพจน์ที่สร้างขึ้นแล้ว จะต้องมีคุณสมบัติที่จำเป็น คือ คุณสมบัติความไม่ขัดแย้งกัน(Property of Consistency) ซึ่งก็ความหมายความตามชื่อคือไม่มี สัจพจน์ใดที่เกิดความขัดแย้งซึ่งกันและกัน
คุณสมบัติอื่น ๆ ที่ระบบสัจพจน์อาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ ได้แก่
1.คุณสมบัติความเป็นเป็นอิสระ(Independence) หมายความว่าระบบที่สร้างขึ้นนั้น สัจพจน์แต่ละอันในเซตต้องเป็นอิสระไม่ได้มาจากผลลัพธ์มาจากสัจพจน์อื่นใดในเซต
2.คุณสมบัติความสมบูรณ์(Completeness) หมายถึงคุณสมบัติในระบบสัจพจน์นั้นที่ทุก ๆ ข้อความในเซตของสัจพจน์ หรือข้อความอื่นใดที่ใช้คำอนิยาม จะต้องแสดงได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
3.คุณสมบัติการจำแนกประเภท(Categoricalness) คุณสมบัตินี้หมายถึงระบบสัจพจน์ใด ๆ ก็ตามที่สร้างขึ้นจากเซตของ อนิยาม นิยาม หรือเซตของสัจพจน์เซตเดียวกัน แล้วต้องได้ว่าแท้จริงระบบเหล่านี้คือระบบเดียวกัน
วิชาทฤษฎีเซต เดิมทีก็มิได้ใช้แนวทาง วิธีการเชิงสัจพจน์ คือมิได้กำหนด พจน์อนิยาม พจน์นิยาม และสัจพจน์ ไว้ แต่ได้เริ่มมีพจน์นิยาม และทฤษฎีบท เท่านั้น แต่นักคณิตศาสตร์ก็สามารถศึกษาวิชาทฤษฎีเซตโดยไม่อาศัยวิธีการเชิงสัจพจน์นี้ได้ ซึ่งก็ได้ข้ามส่วนที่เป็นสัจพจน์นี้ไป ก็ไม่ได้ก่อให้เกิดความเสียหายมากนัก เพราะการนำวิธีการเชิงสัจพจน์มาใช้ก็ทำให้ความล่าช้า ที่ทำให้เกิดความน่าเบื่อหน่ายแก่ผู้เรียนได้
วิชาทฤษฎีเซตที่ไม่ได้ใช้วิธีการเชิงสัจพจน์ มักเรียกว่า วิชาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์(Naïve Set Theory) หรือวิชาทฤษฎีเซตเบื้องต้น วิชาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์ก็มีปัญหาขัดแย้งหรือข้อความที่มีลักษณะขัดกัน ที่ได้กล่าวถึงมาแล้ว ที่เรียกว่า พาราดอกซ์ ข้อความขัดแย้ง ที่รู้จักกันทั่ว ๆ ไป ก็คือพาราดอกซ์ของรัสเซลล์ ทำให้เกิดมีการพัฒนาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์ในเชิงสัจพจน์ และ เรียกว่า วิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์(Axiomatic Set Theory) อย่างไรก็ตามผู้ที่ศึกษาจะพบว่าหนังสือด้านวิชาทฤษฎีเซตบางเล่ม จะอยู่ในแบบวิชาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์ แต่เราสามารถจะศึกษาได้โดยไม่ได้ถือว่า ไม่ถูกต้อง เมื่อได้เพิ่มเติม พจน์นิยาม และสัจพจน์ แล้วจัดให้สอดคล้องกันก็จะได้วิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ได้
ในทำนองกลับกัน ถ้าเราศึกษาวิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ หนังสือบางเล่มก็จะบอกไว้ว่าถ้าเราไม่ต้องการศึกษาในระบบสัจพจน์ก็ข้ามส่วนที่เป็นระบบสัจพจน์ที่ผู้เขียนได้ทำเครื่องหมายไว้ได้ก็ไม่ทำให้ผู้ศึกษาเกิดความเบื่อหน่าย
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น