พาราดอกซ์(Paradox)
พาราดอกซ์(ข้อความขัดแย้งกันแต่จริง Paradox) ในระหว่าปี 1895 – 1910 ได้มีการพบความขัดแย้งหลายประการในส่วนต่าง ๆ หลาย ๆ ส่วนของวิชาทฤษฎีเซต ในระยะแรก ๆ ของการศึกษาวิชาทฤษฎีเซตนั้น อาจทำได้โดยใช้เหตุผลเชิงสหัชญาณ การศึกษาวิชาทฤษฎีเซต ก็ยังไม่ได้ใช้ระบบสัจพจน์ จึงเกิดข้อผิดพลาดในการตอบคำถามบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเซต นอกจากนี้ ยังมีจินตนาการในการคิดสร้างเซตที่สมาชิกซึ่งกำหนดคุณสมบัติที่มีลักษณะเป็นนามธรรมมากขึ้น ซึ่งพบในภายหลังว่า เซตที่สร้างขึ้นนั้นอาจจะไม่เป็นเซตก็ได้ ในตอนแรก ๆ นักคณิตศาสตร์มีความเอาใจใส่กับความขัดแย้งที่เกิดขึ้นเพียงเล็กน้อยและไม่สนใจที่จะแก้ไข แต่มนเวลาต่อมา มีผู้แสดงผลงานเกี่ยวกับเรื่องข้อขัดแย้งในวิชาทฤษฎีเซต โดยในปี 1897 นักคณิตศาสตร์คู่หนึ่ง คือ บูราลี - ฟอร์ไต(Burali - Forti) ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ผลงานที่เป็นข้อขัดแย้ง แต่ข้อขัดแย้งที่ทั้งสองได้เผยแพร่มาก็เป็นเรื่องทำนองเดียวกับที่แคนเตอร์ได้พบมาก่อนหน้านี้แล้วเมื่อ 2 ปีก่อนที่ บูราลี - ฟอร์ไต จะเผยแพร่ออกมา และผลงานนี้ปรากฏว่า เพียงแต่ปรับปรุงนิยามเบื้องต้นบางอย่างเพียงเล็กน้อยก็พอเพียงที่จะแก้ไขให้เกิดความถูกต้องได้
ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นในเวลาต่อมาได้มีการบัญญัติเป็นศัพท์เชิงเทคนิคว่า พาราดอกซ์หรือ จะอธิบายความหมายได้ว่า “ ข้อความขัดแย้งกันแต่จริง ”
ต่อไปเราจะใช้ศัพท์ ว่า พาราดอกซ์ ซึ่งก็ขอให้เข้าใจว่าเป็นความหมายที่ได้กล่าวมาแล้วนี้
อย่างไรก็ตาม ในปี 1902 ได้เผยแพร่ผลงานที่เกี่ยวกับพาราดอกซ์ในวิชาทฤษฎีเซตในขั้นที่เป็นรากฐานที่เดียว ฉะนั้นในครั้งนี้ พาราดอกซ์ที่รัสเซลล์เผยแพร่ออกมาจึงไม่มีนักคณิตศาสตร์ผู้ใดเมินเฉยได้
ในปีต่อ ๆ มา ก็ยังมีพาราดอกซ์อีกหลายอัน และดูเหมือนว่า พาราดอกซ์ที่เกิดขึ้นได้สร้างความระมัดระวังให้นักคณิตศาสตร์ในการพยายามให้ความปลอดภัยที่สุดให้แก่วิชาคณิตศาสตร์เพราะถ้าเกิดพาราดอกซ์ขึ้นเมื่อไร วิชาคณิตศาสตร์ก็ต้องมีการปรับปรุงแก้ไขให้ถุกต้องเสมอไป
พาราดอกซ์ที่รัสเซลล์เผยแพร่ จึงมีชื่อว่า “พาราดอกซ์รัสเซลล์” เพื่อเป็นเกียรติแก่รัสเซลล์ และจะกล่าวถึงพาราดอกซ์รัสเซลล์อีกในภายหลัง
ในบรรดาพาราดอกซ์ที่พบในวิชาทฤษฎีเซตตั้งแต่ประมาณปี 1900 เป็นต้นมา พาราดอกซ์รัสเซลล์เป็นพาราดอกซ์ที่อธิบายให้เข้าใจได้ง่ายที่สุด ในการพัฒนาวิชา ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์จะหลีกเลี่ยงการเกิดพาราดอกซ์โดยให้ระวังในเรื่องขนาดของเซต
เนื่องจากสมาชิกในเซตเป็นสิ่งของ หรือวัตถุใดก็ได้ สมาชิกในเซต อาจเป็นเซต ก็ได้ เช่น A = { x / x เป็นสับเซตของ A} เป็นเซตที่มีสมาชิกในเซตเป็นเซตด้วย ดังนั้นความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นก็คือ เซต A อาจเป็นสมาชิกในเซต A ก็ได้
เช่น เซต A กำหนดให้เป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นสิ่งของที่สามารถอธิบายได้ด้วยคำอย่างน้อย 12 คำ ซึ่งการกำหนดเช่นนี้ทำให้เซต A เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย และเซตบางเซต
พาราดอกซ์ในวิชาทฤษฎีเซต แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ
1.พาราดอกซ์เชิงตรรกศาสตร์(Logical Paradox)
2.พาราดอกซ์เชิงภาษา(Semantic Paradox)
พาราดอกซ์รัสเซลล์ จัดอยู่ในประเภทพาราดอกซ์เชิงตรรกศาสตร์ ลักษณะของการเกิดพาราดอกซ์โดยทั่วไป ๆ เกิดจากการกำหนดเซตแบบเงื่อนไข หรือกำหนดคุณสมบัติของ p(x) ให้แก่สมาชิกในเซตนั้น ๆ บางครั้งอาจจะไม่สามารถสร้างเซตขึ้นตามที่กำหนดก็ได้ หรือเซตที่กำหนดไม่มีอยู่เลยก็ได้ ก็เกิดข้อเสียหายที่เป็นข้อขัดแย้งในวิชาทฤษฎีเซตได้
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น