การเกิดพาราดอกซ์รัสเซลล์
ในสมัยแรก ๆ ที่มีการนำเรื่องเซตมาแนะนำและประยุกต์ใช้ มีข้อสันนิษฐานว่า อาจจะเกี่ยวข้องกับการนับจำนวนหรือการทำรอยคะแนน(Tally) การนับจำนวนมักเป็นการนับเหตุการณ์ที่เกิดซ้ำ ๆ กันและอาจจะทำโดยใช้ก้อนกรวดเม็ด ๆ เก็บกองไว้ เมื่อจะใช้นับจำนวนก็หยิบก้อนกรวดครั้งละหนึ่งเม็ดต่อเหตุการณ์ที่เกิด 1 เหตุการณ์ หรือสำหรับกลาสีเรือ วิธีนับวันที่ผ่านไปแต่ละวัน เมื่อแล่นเรือออกทะเล ก็ทำโดยการขมวดปมไว้บนเชือด ปมหนึ่งแทน 1 วันที่ผ่านไป จำนวนวันที่ผ่านไปทั้งหมดก็จำนวนปมเชือกที่ขมวดไว้นั่นเอง วิธีการเช่นนี้ก็คือกระบวนการของการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง (One – to – one Correspondence) ซึ่งเป็นการจับคู่ระหว่าง ปมเชือกกับวันที่แล่นเรือผ่านไปแล้ว และเป็นลักษณะการจับคู่ระหว่างเซตของปมเชือกที่ขมวกไว้กับเซตของวันที่ผ่านไป
ความยากลำบากในเชิงเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับเซต เกิดมีขึ้นจากวิธีการนับ หรือ วิธีทำรอยคะแนน นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คือแคนเตอร์ ได้ประยุกต์วิธีการนับที่กล่าวนี้กับเซตอนันต์(Infinite Set) เซตของจำนวนธรรมชาติ และผลที่ได้ทำให้เกิดความขัดแย้งที่เรียกว่า พาราดอกซ์การประยุกต์ของแคนเตอร์ดังเช่น เขาสามารถพิสูจน์ว่า เซตของจำนวนธรรมชาติสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง กับเซตของจำนวนเต็มคู่ได้ และยังพิสูจน์ได้ว่า เซตของจำนวนธรรมชาติไม่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับเซตจำนวนจริงได้ แคเตอร์จัดเซตของจำนวนธรรมชาติ และเซตของจำนวนเต็มคู่ ให้มีลักษณะที่เขาเรียกว่า เชิงตัวเลข(Numerous) คือขนาดของจำนวนสมาชิกในเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นแตกต่างจากขนาดของเซตจำนวนจริง เขาจึงสรุปได้ว่า สำหรับเซตอนันต์มีลักษณะของเซตอยู่อย่างน้อย 2 แบบที่แตกต่างกัน เรียกขนาดของเซตที่แตกต่างกันแบบที่กล่าวนี้ว่า จำนวนทรานซ์ไฟไนท์(Transfinite Number) ซึ่งจำนวนดังกล่าวนี้ใช้แทนขนาดของเซตอนันต์
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น