วิธีการเชิงสัจพจน์(Axiomatic Method or Postulational Method)
ในสมัยก่อนนักคณิตศาสตร์พบทฤษฎีบทต่าง ๆ จากการลองผิดลองถูก หรือพบทฤษฎีบทจากกระบวนการเหตุผลเชิงสหัชญาณ ที่ได้ข้อความคาดคะเนว่าอาจจะเป็นจริงแล้วพิสูจน์ว่าข้อความคาดคะเนเป็นจริงในภายหลัง หรือ นักคณิตศาสตร์อาศัยการคำนวณเฉพาะกรณี(special Case) ดังนั้นจึงปรากฏว่า มีทฤษฎีบทบางทฤษฎีบทอาจจะไม่ถูกต้องสมบูรณ์ เนื่องจากยังไม่มีข้อพิสูจน์ยืนยัน
การพิสูจน์โดยเหตุผลเชิงนิรนัย ทำให้แน่ใจได้ว่า ทฤษฎีบทนั้น ๆ ถูกต้อง ตัวอย่าง เช่น ชาวอียิปต์สมัยโบราณมีความรู้ที่ได้จากปรุสบการณ์การทดลองว่า ถ้ารูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็น 3 , 4 และ 5 แล้ว จะได้ผลว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ต่อมาชาวกรีกโบราณก็สามารถพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทได้ว่า ถ้ามีรูปสามที่มีความยาวของด้านเป็น a , b, c หน่วย โดยเงื่อนไขว่า ผลบวกของ a2 กับ b2 เท่ากับ c2 แล้วจะได้ผลว่า รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งถ้าใช้เหตุผลเชิงอุปนัยก็ต้องหาตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมจำนวนนับไม่ถ้วน มาแสดงความจริงข้อนี้
นักคณิตศาสตร์พยายามสร้างระบบที่ถูกต้องตามหลักเหตุผลขึ้นมาจากความต้องการนี้ จึงเห็นว่าในการที่จะให้ระบบที่สร้างขึ้นถูกต้องสมบูรณ์ ก็ต้องมีความเข้าใจร่วมกัน(Mutually Understanding) หรือมีความเข้าใจตรงกันต่อความหมายต่าง ๆ เป็นต้นว่า ความหมายของคำ หรือ พจน์(Term) หรือสัญลักษณ์ต่าง ๆ ที่ใช้ ตลอดจนข้อตกลงขันมูลฐาน(Axiom , Postulate, Assumption) หรือที่เรียกอีกอย่างหนึ่งเป็นศัพท์ทางวิชาการว่า สัจพจน์ แล้วจึงเกิดทฤษฎีบทต่าง ๆ ขึ้นระบบที่นักคณิตศาสตร์ว่าถูกต้อง จึงเกิดเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์(Mathematical Structure) หรือ ระบบคณิตศาสตร์(Mathematical System)
องค์ประกอบของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มีดังนี้
1.พจน์อนิยาม(Undefined Term) หรือพจน์ที่ไม่ต้องให้คำจำกัดความ
2.พจน์นิยาม(Defined Term) หรือพจน์ที่ให้คำจำกัดความ
3.สัจพจน์ หรือ ข้อตกลงขั้นมูลฐาน
4.ทฤษฎีบท
ในที่นี้จะกล่าวถึงองค์ประกอบของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์แต่ละอย่าง พอเป็นพื้นฐานให้เกิดความเข้าใจเท่านั้น
1.พจน์อนิยาม
อาจจะมีบางคนเข้าใจว่า พจน์หรือคำต่าง ๆ ทุก ๆ คำ ควรให้เป็นคำจำกัดความได้ โดยอธิบาย พจน์นั้นมีความหมายว่าอย่างไร ตัวอย่าง เช่น ต้องการให้คำจำกัดความของคำว่า”ญาติ”
สังเกตได้ว่า การให้คำจำกัดความของคำ ๆ หนึ่งนั้น ได้เกิดการวกเวียนกลับมาใช้คำเดิมในการอธิบายความหมายอีก เพราะภาษาที่ใช้พูดประจำวันมีคำพูดอยู่จำกัดอยู่จำนวนหนึ่ง ถึงแม้จะมีคำพูดมากมายเพียงใดก็ตาม ก็นับว่ามีอยู่อย่างจำกัด ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสร้างระบบเหตุผลหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์โดยให้มีคำบางคำ หรือพจน์บางพจน์ เป็นพจน์ที่ไม่ต้องให้คำจำกัดความ แต่ต้องทราบความหมายให้ตรงกัน
ในทางคณิตศาสตร์ก็มีบางคำที่ไม่สามารถอธิบายความหมายได้ เช่นคำว่า จุดเส้น แต่คำทั้งสองนี้เรารูจักและคุ้นเคยกันมาแล้ว หรือสร้างความคุ้นเคยให้เกิดขึ้นได้
พจน์ซึ่งไม่สามารถนำคำอื่นมาอธิบายได้ จึงเรียกว่า พจน์อนิยาม หรือเรียก สั้น ๆ ว่า อนิยาม
ตัวอย่างพจน์ที่เป็นอพจน์นิยาม เช่น ถูก ผิด จริง เท็จ มาก น้อย พอดี รัก ชอบ น่าเกลียด ชัง อยู่ใน เป็นสมาชิก เซต เป็นต้น
2.พจน์นิยาม
คำหรือพจน์ที่สามารถนำคำอื่นมาอธิบายให้เข้าใจได้ง่ายโดยไม่เกิดการวกเวียน ก็จะเป็นคำหรือพจน์ที่ให้คำจำกัดความได้ จึงเรียกคำที่ให้คำจำกัดความได้นี้ว่า พจน์นิยาม และต้องไม่ลืมว่าคำบางคำเท่านั้นที่สามารถกำหนดพจน์นิยามได้
การกำหนดพจน์นิยามควรยึดหลักดังนี้
ก.พจน์นิยามที่ดีควรระบุคุณสมบัติที่ทำให้เข้าใจง่าย
ข.พจน์นิยามที่ดีควรมีความรัดกุม
ค. พจน์นิยามที่ดีควรจะใช้คำ พจน์อนิยาม หรือคำที่เคยให้บทนิยามมาแล้ว
ง.คำหรือพจน์อันหนึ่ง ควรกำหนดพจน์นิยามเพียงอย่างเดียว
จ. พจน์นิยามที่ดีต้องเป็นเงื่อนไขไปกลับ(Bicondition หรือ Equivalance)
ในรูป p«q
ฉ. พจน์นิยามที่ดีไม่ควรจะมีข้อโต้งเถียงซึ่งทำให้เกิดการขัดแย้งได้
ช.ไม่ควรกำหนดพจน์นิยามขึ้นมาแล้วไม่เคยนำมาใช้ในระบบเลย
ซ. พจน์นิยามที่ดีเมื่อกำหนดแล้วก็ต้องบอกได้ว่า สิ่งใดเป็นไปตามพจน์
นิยามนั้น หรือสิ่งใดไม่เป็นไปตามพจน์นั้น
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น