บทที่ 1
บทนำ
สัจพจน์ (axioma)
คำว่า "สัจพจน์" มาจากคำ ἀξίωμα (axioma) ในภาษากรีกซึ่งแปลว่า "ยกให้มีค่ายิ่ง" หรือ "ต้องการอย่างยิ่ง" ซึ่งแผลงมาจากคำว่า ἄξιος (axsios) และ ἄγω (ago) ตามลำดับ โดยรากศัพท์เริ่มต้น ἄγω (ago) นั้นเป็นรากศัพท์ ในตระกูลภาษาก่อนอินโดยูโรเปียน ตรงกับคำว่า अजति (ago) ในภาษาสันสกฤต ซึ่งมีความหมายเหมือน กันคือ "การนำ" หรือ "การทำให้มีค่า" ต่อมานัก จึงใช้คำว่า axiom ในความหมายว่า ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
สำหรับคำว่า "สัจพจน์" เกิดจากการสมาสคำ ว่า "สจฺจ" ซึ่งแปลว่า "ความจริงแท้" กับ "พจฺน" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" "คำพูด" สัจพจน์จึงแปลว่า "ข้อความที่เป็นความจริงแท้" ส่วน "มูลบท" เกิดจากการสมาสคำว่า "มูล" ซึ่งแปลว่า "พื้นฐาน" กับ "บท" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" จึงแปลได้ว่า "ข้อความที่เป็นพื้นฐาน"
ประวัติในยุคกรีกโบราณ
การให้เหตุผลแบบนิรนัย ซึ่งเป็นหลักการสำคัญในคณิตศาสตร์ ยุคปัจจุบันนั้น ถูกคิดค้นขึ้นมาโดย นักปรัชญากรีกโบราณอย่างเป็นระบบ กระบวนการให้เหตุผลแบบนิรนัย เน้นการแสวงหาความรู้จากการอนุมานข้อมูลตั้งต้นหรือความรู้เดิม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีความรู้ชุดหนึ่งที่ได้รับ การยอมรับมาก่อนอยู่แล้วจึงจะสามารถอนุมานไปยังความรู้อื่นๆ ได้ นักปรัชญากรีกโบราณ จึงเรียกความรู้ชุดที่เป็นสมมติฐานพื้นฐานนี้ว่า "สัจพจน์" ซึ่งได้รับการยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ และ ทฤษฎีบท อื่นจะต้องได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานของ "สัจพจน์" เหล่านี้ แต่อย่างไรก็ดี การตีความความรู้ทางคณิตศาสตร์ จากโบราณจนถึงปัจจุบันนั้นเปลี่ยนไป จึงทำให้ชุด "สัจพจน์" พื้นฐานทางคณิตศาสตร์จากยุค อริสโตเติลและ ยูคลิด เปลี่ยนไปเล็กน้อย
ชาวกรีกโบราณจัดให้ ตรีโกณมิติ เป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์และเชื่อมโยง ทฤษฎีบททางตรีโกณมิติไปกับข้อเท็จจริงทางวิทยาศาสตร์ ชาวกรีกได้จัดระบบทางวิทยาศาสตร์โดยใช้การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นมาตรฐานเพื่อป้องกันข้อผิดพลาด เพื่อสร้างความรู้ใหม่และใช้สื่อสารระหว่างกัน จนในที่สุดอริสโตเติล ก็ได้ สรุปความรู้ต่างๆ ในยุคนี้เป็นระบบไว้อย่างละเอียดในหนังสือที่ชื่อว่า Posterior Analytics แต่เดิมนั้นคำว่า "สัจพจน์" หรือ "axiom" ใช้ในความหมายว่า ประโยคที่คนส่วนใหญ่อ่านแล้วเข้าใจโดยไม่ต้องพิสูจน์ให้เห็น ยกตัวอย่างเช่น สมการที่ถูกลบด้วยค่าเท่ากันทั้งสองข้างก็ยังเป็นสมการอยู่ เป็นประโยคที่คนส่วนใหญ่เชื่อโดยไม่ต้องพิสูจน์ ในขณะที่ทฤษฎีบทอย่างทฤษฎีบทปีทากอรัส เป็นทฤษฎีบทที่ซับซ้อนจนต้องพิสูจน์จึงจะทำให้คนส่วนใหญ่เชื่อได้ หลังจากที่วิทยาศาสตร์แตกแขนงไปหลายๆ สาขาซึ่งอยู่บนพื้นฐานของสมมติฐานคนละชุด เรามักจะเรียกสมมติฐานพื้นฐานเฉพาะสาขานั้นๆ ว่า "มูลบท" ในขณะที่ "สัจพจน์" มักใช้ในความหมายของวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป เมื่อยูคลิด ได้รวบรวมระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์เอาไว้ในหนังสือ The Elements ได้รวบรวมมูลบท ซึ่งยูคลิด หมายถึงหลักการทางเรขาคณิต ที่สอดคล้องกับประสบการณ์และสามัญสำนึก กับ Common notions ซึ่งยูคลิด หมายถึงข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ไม่ต้องพิสูจน์หรือสัจพจน์นั่นเอง
ในประวัติศาสตร์ กรีกเป็นชาติแรกซึ่งพัฒนาสัญลักษณ์ของตรรกศาสตร์ ที่ค้นพบจากรากฐานของ Initial Statements ซึ่งเป็นข้อสมมุติจากนอกเซต อริสโตเติล Aristotle (เกิดเมื่อประมาณ 384 หรือ 383 ปีก่อนคริสตกาล ที่เมืองสตากีรา (Stagira) ในแคว้นมาเซโดเนีย (Macedonia) ซึ่งเป็นแคว้นที่แห้งแล้งทางตอนเหนือสุดชองทะเลเอเจียน (Aegaeen Sea) ของประเทศกรีก เป็นบุตรชายของนายนิโคมาคัส (Nicomachus) ซึ่งมีอาชีพทางการแพทย์ประจำอยู่ที่เมืองสตาราเกีย และยังเป็นแพทย์ประจำพระองค์ของพระเจ้าอมินตัสที่ 2 (King Amyntas II) แห่งมาเซโดเนีย)อริสโตเติล ได้บันทึกไว้ว่า “วิทยาศาสตร์ที่สามารถทดลองได้ทุกเรื่อง จะเริ่มต้นมาจากหลักการที่ไม่สามารถทดลองได้ หรือไม่ก็ขั้นนั้นของการทดลองจบลงอย่างสั้นในตัวแล้ว”
ยูคลิด (Euclid)เป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี ยูคลิดเกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอิยิปต์ เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล มีชีวิตอยู่จนกระทั่งประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล งานของยูคลิค ใน The element ซึ่งเขียนประมาณ 300 B.C. ได้พัฒนาโครงสร้างระบบสัจพจน์โดยพื้นฐานของนิยามและความเข้าใจง่ายๆ เช่น (Axiom / postulate) ใน The element ของเขากล่าวได้ว่า
1. จะสามารถลากเส้นตรงจากจุดใดๆ จุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เส้นเดียว
2. จะสามารถลากเส้นตรงให้ยาวออกไปได้ไม่สิ้นสุด
3. เพื่อจะอธิบายวงกลมได้ จะต้องกำหนดศูนย์กลางและรัศมี
4. มุมฉากทุกๆมุม จะต้องเท่ากัน
5. ถ้าเส้นตรงทุกเส้นหนึ่ง ตัดเส้นตรงสองเส้น ทำให้มุมภายในข้าวเดียวกันของเส้นตรงตัดรวมกัน ได้น้อยกว่าสองมุมฉากแล้ว เส้นตรงคู่นั้นจะพบกันทางด้านที่บวกของมุมทั้งสองรวมกันได้น้อยกว่าสองมุมฉากนั้น
ความเข้าใจง่ายๆ The element ของยูคลิค กล่าวไว้ว่า
1. สิ่งทั้งหลายที่ต่างเท่ากับสิ่งที่เท่ากับสิ่งหนึ่ง ย่อมเท่ากันหมด
2. สิ่งสองสิ่งเท่ากัน ถ้าบวกด้วยสิ่งที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ย่อมเท่าด้วย
3. สิ่งสองสิ่งเท่ากัน ถ้าลบด้วยสิ่งของที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ย่อมเท่าด้วย
4. สิ่งซึ่งทับกันสนิท (coincide) สิ่งต่อสิ่ง แล้ว สิ่งหนึ่งจะเทากับอีกสิ่งหนึ่ง
5. จำนวนทั้งหมด (whole) ย่อมมากส่วนย่อย (part)
สิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิดทฤษฏีต่างๆตามมา งานของยูคลิคใน The element เป็นงานที่สร้างชื่อเสียง ที่เน้นวิธีการและเนื้อหาในทางที่สามารถพิสูจน์ได้โดยสมบูรณ์ ซึ่งเป็นแบบอย่างแรกเริ่มไว้ สำหรับวิธีการของยูคลิดที่ใช้นั้น อาร์คิมีดีส ก็ได้นำไปใช้ด้วย อาร์คิมีดีส (Archimedes) เกิดเมื่อ 287 ปีก่อนคริสตกาล เสียชีวิต เมื่อ 212 ปีก่อนคริสตกาล (อายุประมาณ 75 ปี)
ก็อปมาจากวิกิพีเดียเลยนะครับเนี่ย.. แหม่
ตอบลบ