การเกิดพาราดอกซ์รัสเซลล์

การเกิดพาราดอกซ์รัสเซลล์

                ในสมัยแรก  ๆ  ที่มีการนำเรื่องเซตมาแนะนำและประยุกต์ใช้  มีข้อสันนิษฐานว่า  อาจจะเกี่ยวข้องกับการนับจำนวนหรือการทำรอยคะแนน(Tally)  การนับจำนวนมักเป็นการนับเหตุการณ์ที่เกิดซ้ำ  ๆ  กันและอาจจะทำโดยใช้ก้อนกรวดเม็ด  ๆ  เก็บกองไว้  เมื่อจะใช้นับจำนวนก็หยิบก้อนกรวดครั้งละหนึ่งเม็ดต่อเหตุการณ์ที่เกิด  1  เหตุการณ์  หรือสำหรับกลาสีเรือ  วิธีนับวันที่ผ่านไปแต่ละวัน  เมื่อแล่นเรือออกทะเล  ก็ทำโดยการขมวดปมไว้บนเชือด  ปมหนึ่งแทน  1  วันที่ผ่านไป  จำนวนวันที่ผ่านไปทั้งหมดก็จำนวนปมเชือกที่ขมวดไว้นั่นเอง  วิธีการเช่นนี้ก็คือกระบวนการของการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง   (One – to – one  Correspondence)  ซึ่งเป็นการจับคู่ระหว่าง  ปมเชือกกับวันที่แล่นเรือผ่านไปแล้ว  และเป็นลักษณะการจับคู่ระหว่างเซตของปมเชือกที่ขมวกไว้กับเซตของวันที่ผ่านไป

                ความยากลำบากในเชิงเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับเซต  เกิดมีขึ้นจากวิธีการนับ  หรือ  วิธีทำรอยคะแนน  นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน  คือแคนเตอร์  ได้ประยุกต์วิธีการนับที่กล่าวนี้กับเซตอนันต์(Infinite  Set)  เซตของจำนวนธรรมชาติ  และผลที่ได้ทำให้เกิดความขัดแย้งที่เรียกว่า  พาราดอกซ์การประยุกต์ของแคนเตอร์ดังเช่น  เขาสามารถพิสูจน์ว่า  เซตของจำนวนธรรมชาติสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง  กับเซตของจำนวนเต็มคู่ได้  และยังพิสูจน์ได้ว่า  เซตของจำนวนธรรมชาติไม่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับเซตจำนวนจริงได้  แคเตอร์จัดเซตของจำนวนธรรมชาติ  และเซตของจำนวนเต็มคู่  ให้มีลักษณะที่เขาเรียกว่า  เชิงตัวเลข(Numerous)  คือขนาดของจำนวนสมาชิกในเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นแตกต่างจากขนาดของเซตจำนวนจริง  เขาจึงสรุปได้ว่า  สำหรับเซตอนันต์มีลักษณะของเซตอยู่อย่างน้อย  2  แบบที่แตกต่างกัน  เรียกขนาดของเซตที่แตกต่างกันแบบที่กล่าวนี้ว่า  จำนวนทรานซ์ไฟไนท์(Transfinite  Number)  ซึ่งจำนวนดังกล่าวนี้ใช้แทนขนาดของเซตอนันต์

พาราดอกซ์

พาราดอกซ์(Paradox)

                พาราดอกซ์(ข้อความขัดแย้งกันแต่จริง  Paradox) ในระหว่าปี  1895 – 1910  ได้มีการพบความขัดแย้งหลายประการในส่วนต่าง  ๆ  หลาย  ๆ  ส่วนของวิชาทฤษฎีเซต  ในระยะแรก  ๆ  ของการศึกษาวิชาทฤษฎีเซตนั้น  อาจทำได้โดยใช้เหตุผลเชิงสหัชญาณ  การศึกษาวิชาทฤษฎีเซต  ก็ยังไม่ได้ใช้ระบบสัจพจน์  จึงเกิดข้อผิดพลาดในการตอบคำถามบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเซต  นอกจากนี้  ยังมีจินตนาการในการคิดสร้างเซตที่สมาชิกซึ่งกำหนดคุณสมบัติที่มีลักษณะเป็นนามธรรมมากขึ้น  ซึ่งพบในภายหลังว่า  เซตที่สร้างขึ้นนั้นอาจจะไม่เป็นเซตก็ได้  ในตอนแรก  ๆ  นักคณิตศาสตร์มีความเอาใจใส่กับความขัดแย้งที่เกิดขึ้นเพียงเล็กน้อยและไม่สนใจที่จะแก้ไข  แต่มนเวลาต่อมา  มีผู้แสดงผลงานเกี่ยวกับเรื่องข้อขัดแย้งในวิชาทฤษฎีเซต  โดยในปี  1897  นักคณิตศาสตร์คู่หนึ่ง  คือ  บูราลี -  ฟอร์ไต(Burali - Forti)  ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ผลงานที่เป็นข้อขัดแย้ง  แต่ข้อขัดแย้งที่ทั้งสองได้เผยแพร่มาก็เป็นเรื่องทำนองเดียวกับที่แคนเตอร์ได้พบมาก่อนหน้านี้แล้วเมื่อ  2  ปีก่อนที่               บูราลี  -  ฟอร์ไต    จะเผยแพร่ออกมา  และผลงานนี้ปรากฏว่า  เพียงแต่ปรับปรุงนิยามเบื้องต้นบางอย่างเพียงเล็กน้อยก็พอเพียงที่จะแก้ไขให้เกิดความถูกต้องได้

                ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นในเวลาต่อมาได้มีการบัญญัติเป็นศัพท์เชิงเทคนิคว่า  พาราดอกซ์หรือ  จะอธิบายความหมายได้ว่า  “ ข้อความขัดแย้งกันแต่จริง ”

                ต่อไปเราจะใช้ศัพท์  ว่า  พาราดอกซ์  ซึ่งก็ขอให้เข้าใจว่าเป็นความหมายที่ได้กล่าวมาแล้วนี้

                อย่างไรก็ตาม  ในปี  1902  ได้เผยแพร่ผลงานที่เกี่ยวกับพาราดอกซ์ในวิชาทฤษฎีเซตในขั้นที่เป็นรากฐานที่เดียว  ฉะนั้นในครั้งนี้  พาราดอกซ์ที่รัสเซลล์เผยแพร่ออกมาจึงไม่มีนักคณิตศาสตร์ผู้ใดเมินเฉยได้

                ในปีต่อ  ๆ  มา  ก็ยังมีพาราดอกซ์อีกหลายอัน  และดูเหมือนว่า  พาราดอกซ์ที่เกิดขึ้นได้สร้างความระมัดระวังให้นักคณิตศาสตร์ในการพยายามให้ความปลอดภัยที่สุดให้แก่วิชาคณิตศาสตร์เพราะถ้าเกิดพาราดอกซ์ขึ้นเมื่อไร  วิชาคณิตศาสตร์ก็ต้องมีการปรับปรุงแก้ไขให้ถุกต้องเสมอไป

                พาราดอกซ์ที่รัสเซลล์เผยแพร่  จึงมีชื่อว่า  “พาราดอกซ์รัสเซลล์”    เพื่อเป็นเกียรติแก่รัสเซลล์  และจะกล่าวถึงพาราดอกซ์รัสเซลล์อีกในภายหลัง

                ในบรรดาพาราดอกซ์ที่พบในวิชาทฤษฎีเซตตั้งแต่ประมาณปี  1900  เป็นต้นมา  พาราดอกซ์รัสเซลล์เป็นพาราดอกซ์ที่อธิบายให้เข้าใจได้ง่ายที่สุด  ในการพัฒนาวิชา    ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์จะหลีกเลี่ยงการเกิดพาราดอกซ์โดยให้ระวังในเรื่องขนาดของเซต

                เนื่องจากสมาชิกในเซตเป็นสิ่งของ  หรือวัตถุใดก็ได้  สมาชิกในเซต  อาจเป็นเซต  ก็ได้  เช่น  A = { x / x  เป็นสับเซตของ  A}  เป็นเซตที่มีสมาชิกในเซตเป็นเซตด้วย  ดังนั้นความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นก็คือ  เซต  A  อาจเป็นสมาชิกในเซต  A  ก็ได้  

เช่น  เซต  A  กำหนดให้เป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นสิ่งของที่สามารถอธิบายได้ด้วยคำอย่างน้อย  12  คำ  ซึ่งการกำหนดเช่นนี้ทำให้เซต  A  เป็นสมาชิกของเซต  A  ด้วย  และเซตบางเซต   

                พาราดอกซ์ในวิชาทฤษฎีเซต  แบ่งออกเป็น  2  ชนิด  คือ

                1.พาราดอกซ์เชิงตรรกศาสตร์(Logical  Paradox)

                2.พาราดอกซ์เชิงภาษา(Semantic  Paradox)

                พาราดอกซ์รัสเซลล์  จัดอยู่ในประเภทพาราดอกซ์เชิงตรรกศาสตร์  ลักษณะของการเกิดพาราดอกซ์โดยทั่วไป  ๆ  เกิดจากการกำหนดเซตแบบเงื่อนไข  หรือกำหนดคุณสมบัติของ  p(x)  ให้แก่สมาชิกในเซตนั้น  ๆ  บางครั้งอาจจะไม่สามารถสร้างเซตขึ้นตามที่กำหนดก็ได้  หรือเซตที่กำหนดไม่มีอยู่เลยก็ได้  ก็เกิดข้อเสียหายที่เป็นข้อขัดแย้งในวิชาทฤษฎีเซตได้

วิธีการเชิงสัจพจน์ (ต่อ)

3.สัจพจน์หรือข้อตกลงขั้นมูลฐาน

  บางครั้งมนุษย์เราต้องการอธิบายให้ผู้อื่นยอมรับสิ่งที่พูดนั้นเป็นจริง  เมื่อต้องการให้ผู้อื่นยอมรับในสิ่งที่พูด  ว่าเป็นจริง  ก็ยอมรับที่จะแสดงเหตุผลเพื่อให้เป็นที่ยอมรับ  โดยทำโครงการแสดงเหตึชุผลประกอบ  และใช้ประโยคคำพูดขยายข้อความเป็นประโยคที่  2  ถ้ายังไม่เป็นที่ยอมรับก็ต้องอธิบายต่อไปอีกโดยใช้คำพูดประโยคที่  3  ซึ่งถ้ายังไม่เป็นที่ยอมรับ  ก็ต้องหาคำพูดประโยคต่าง  ๆ  มาขยายความอีก  จนกว่าจะถึงคำพูดประโยคที่ผู้อื่นเห็นจริงด้วย  จึงหยุดได้

                ในบางครั้งผู้อธิบายก็จนปัญญาที่จะหาคำมาพูดอธิบายต่อไป  เพราะคำพูดประโยคที่นำมาใช้ขยายความให้เข้าใจก็มีจำกัด  บางครั้งก็เกิดการวกเวียนมาใช้คำพูดประโยคเดิมอธิบายอีก  ข้อความที่ต้องการการแสดงเหตุผลให้เป็นที่ยอมรับจึงสามารถทำได้  วิธีการเช่นนี้ก็ถือว่าเป็นการแสดงเหตุผลประกอบแล้วเกิดการวกเวียนกลับมาใช้คำพูดประโยคเดิม  ก็ถือว่าข้อความที่พูดนั้นพิสูจน์ให้เห็นจริงไม่ได้

ในบางครั้งสิ่งที่มนุษย์กล่าวไว้  ก็มีความจริงในตัวเอง  เป็นที่ยอมรับโดยอาศัยกฎของธรรมชาติ  โดยไม่มีข้อโต้งแย้งมาตลอด  เช่น  คนทุกคนต้องตาย  สิ่งทั้งหลายต่างเท่ากับตัวของมันเองบางครั้งสิ่งที่มนุษย์มีความเชื่อร่วมกัน  โดยไม่สามารถจะแสดงให้เห็นจริงได้  เช่น  เชื่อว่า”ทำดีได้ดี  ทำชั่วได้ชั่ว”   “ความจริงเป็นสิ่งไม่ตาย”  กฎการดำรงชีวิตอย่างมีความสุขคือไม่เคร่งเครียดไม่ย่อหย่อนแต่ในลักษณะพอดี  เป็นต้น

นักคณิตศาสตร์ได้มองเห็นปรากฏการณ์ที่ได้กล่าวมาแล้ว  จึงตกลงกันว่า  ในการเริ่มต้นเรียนรู้วิชาการใด  ๆ  จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องมี  ข้อตกลง  หรือ  กติกา  หรือความเชื่อร่วมกัน  เพื่อเป็นหลักยึดเป็นเบื้องต้น  โดยไม่ต้องพิสูจน์หาเหตุผลมาสนับสนุนข้อตกลงเหล่านั้น  หลักการที่ยึดถือร่วมกันโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์หาเหตุผลมาประกอบ  เรียกว่า  ข้อตกลงขั้นมูลฐาน  หรือสมมติฐาน  หรือสิ่งที่เห็นจริงแล้ว  หรือ  กติกา  ชื่อต่าง  ๆ  เหล่านี้  จะรวมเรียกว่า  สัจพจน์

4.ทฤษฎีบท

   ข้อความที่สามารถหาเหตุผลมาประกอบให้เป็นที่ยอมรับได้  เราเรียกว่า  ทฤษฎีบท  วิธีการที่เราสามารถหาเหตุผลมาแสดงให้เป็นที่ยอมรับได้  เรียกว่า  การพิสูจน์  การแสดงการพิสูจน์  เราอาศัยอนิยาม  หรือสัจพจน์  หรือ  ความจริงที่เคยพิสูจน์มาแล้ว  มาอ้างอิง  ก็จะได้ทฤษฎีบท  การพิสูจน์ทฤษฎีบทยังอาศัยเหตุผลเชิงนิรนัย  ซึ่งเป็นหลักการที่นักคณิตศาสตร์ยอมรับ  ข้ออ้างอิงที่ใช้ในการประกอบเหตุผลก็จะเป็น  อนิยาม  นิยาม  สัจพจน์  และทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว

วิธีการเชิงสัจพจน์  อาศัยองค์ประกอบ  4  ประการ  เพื่อสร้างระบบที่ดี  ต่อไปนี้

1.กลุ่มของคำ (พจน์)  ที่ต้องไม่ต้องให้คำจำกัดความ  ที่เรียกว่า  กลุ่มของ        

อนิยาม  และกลุ่มของคำ  (พจน์)  ที่ให้คำจำกัดความได้  ที่เรียกว่า  นิยาม

2.กลุ่มข้อความ  (ประโยค  หรือ  ประพจน์)  ที่ยอมรับว่าเป็นจริง  โดยไม่ต้อง

แสดงเหตุผลประกอบการพิสูจน์  ที่เรียกว่า  สัจพจน์

3.การแสดงเหตุผลโดยอาศัยเหตุผลเชิงนิรนัย  หรืออาจเรียกว่าเป็นการแสดง

เหตุผลโดยอาศัยหลักเกณฑ์ของเหตุผล(Rules  of  Reasoning)  ที่จะต้อง

ดำเนินตามกระบวนการพิสูจน์ที่เชื่อมโยงข้อความหนึ่งกับอีกข้อความหนึ่งที่อยู่

ถัดมา

4.ทฤษฎีบท  ซึ่งเป็นความจริงที่พิสูจน์แสดงเหตุผลได้  โดยการอ้างอิงข้อ  1 

หรือ  ข้อ  2  และโดยการใช้ข้อ  3  หรือข้ออ้างอิงทฤษฎีบทที่มีการพิสูจน์แล้ว 

      จุดประสงค์ของระบบสัจพจน์ก็คือ  ทำให้เกิดการพัฒนาที่มีลำดับที่ดีโดยผลลัพธ์ที่ซับซ้อนยุ่งยากจะไดมาภายหลังผลลัพธ์ที่ง่าย  หรือมาจากสัจพจน์ที่กำหนดไว้ก่อน  นอกจากนี้ในการเลือกเซตของสัจพจน์ที่ใช้ในระบบก็จำเป็นต้องเลือกให้เหมาะสม  วิธีง่าย  ๆ  ในการเลือกสัจพจน์ก็คือ  เลือกข้อความที่ชัดเจน  แต่ก็อาจจะมีบางครั้งที่ผิดแปลกไปจากธรรมดาในโลกกายภาพบ้างก็ได้  ซึ่งจะเห็นได้ใน  เมื่อเรามีโอกาสได้ศึกษาต่อ  ๆ  ไปในการพัฒนาเรขาคณิตไม่ใช่ระบบยูคลิค  ซึ่งยอมรับสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับเรขาคณิตระบบยูคลิค

                ระบบสัจพจน์ที่สร้างขึ้นแล้ว  จะต้องมีคุณสมบัติที่จำเป็น  คือ  คุณสมบัติความไม่ขัดแย้งกัน(Property  of  Consistency)  ซึ่งก็ความหมายความตามชื่อคือไม่มี      สัจพจน์ใดที่เกิดความขัดแย้งซึ่งกันและกัน

                คุณสมบัติอื่น  ๆ  ที่ระบบสัจพจน์อาจจะมีหรือไม่มีก็ได้  ได้แก่

                1.คุณสมบัติความเป็นเป็นอิสระ(Independence)  หมายความว่าระบบที่สร้างขึ้นนั้น  สัจพจน์แต่ละอันในเซตต้องเป็นอิสระไม่ได้มาจากผลลัพธ์มาจากสัจพจน์อื่นใดในเซต

                2.คุณสมบัติความสมบูรณ์(Completeness)  หมายถึงคุณสมบัติในระบบสัจพจน์นั้นที่ทุก  ๆ  ข้อความในเซตของสัจพจน์  หรือข้อความอื่นใดที่ใช้คำอนิยาม  จะต้องแสดงได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

                3.คุณสมบัติการจำแนกประเภท(Categoricalness)  คุณสมบัตินี้หมายถึงระบบสัจพจน์ใด  ๆ  ก็ตามที่สร้างขึ้นจากเซตของ  อนิยาม  นิยาม  หรือเซตของสัจพจน์เซตเดียวกัน  แล้วต้องได้ว่าแท้จริงระบบเหล่านี้คือระบบเดียวกัน

                วิชาทฤษฎีเซต  เดิมทีก็มิได้ใช้แนวทาง  วิธีการเชิงสัจพจน์  คือมิได้กำหนด  พจน์อนิยาม  พจน์นิยาม  และสัจพจน์  ไว้  แต่ได้เริ่มมีพจน์นิยาม  และทฤษฎีบท  เท่านั้น  แต่นักคณิตศาสตร์ก็สามารถศึกษาวิชาทฤษฎีเซตโดยไม่อาศัยวิธีการเชิงสัจพจน์นี้ได้  ซึ่งก็ได้ข้ามส่วนที่เป็นสัจพจน์นี้ไป  ก็ไม่ได้ก่อให้เกิดความเสียหายมากนัก  เพราะการนำวิธีการเชิงสัจพจน์มาใช้ก็ทำให้ความล่าช้า  ที่ทำให้เกิดความน่าเบื่อหน่ายแก่ผู้เรียนได้

                วิชาทฤษฎีเซตที่ไม่ได้ใช้วิธีการเชิงสัจพจน์  มักเรียกว่า  วิชาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์(Naïve  Set  Theory)  หรือวิชาทฤษฎีเซตเบื้องต้น  วิชาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์ก็มีปัญหาขัดแย้งหรือข้อความที่มีลักษณะขัดกัน  ที่ได้กล่าวถึงมาแล้ว  ที่เรียกว่า  พาราดอกซ์  ข้อความขัดแย้ง  ที่รู้จักกันทั่ว  ๆ  ไป  ก็คือพาราดอกซ์ของรัสเซลล์  ทำให้เกิดมีการพัฒนาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์ในเชิงสัจพจน์  และ  เรียกว่า  วิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์(Axiomatic  Set  Theory)  อย่างไรก็ตามผู้ที่ศึกษาจะพบว่าหนังสือด้านวิชาทฤษฎีเซตบางเล่ม   จะอยู่ในแบบวิชาทฤษฎีเซตบริสุทธิ์  แต่เราสามารถจะศึกษาได้โดยไม่ได้ถือว่า  ไม่ถูกต้อง  เมื่อได้เพิ่มเติม  พจน์นิยาม  และสัจพจน์  แล้วจัดให้สอดคล้องกันก็จะได้วิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ได้

                ในทำนองกลับกัน  ถ้าเราศึกษาวิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์  หนังสือบางเล่มก็จะบอกไว้ว่าถ้าเราไม่ต้องการศึกษาในระบบสัจพจน์ก็ข้ามส่วนที่เป็นระบบสัจพจน์ที่ผู้เขียนได้ทำเครื่องหมายไว้ได้ก็ไม่ทำให้ผู้ศึกษาเกิดความเบื่อหน่าย

วิธีการเชิงสัจพจน์

วิธีการเชิงสัจพจน์(Axiomatic  Method  or  Postulational  Method)

                        ในสมัยก่อนนักคณิตศาสตร์พบทฤษฎีบทต่าง  ๆ  จากการลองผิดลองถูก  หรือพบทฤษฎีบทจากกระบวนการเหตุผลเชิงสหัชญาณ  ที่ได้ข้อความคาดคะเนว่าอาจจะเป็นจริงแล้วพิสูจน์ว่าข้อความคาดคะเนเป็นจริงในภายหลัง  หรือ  นักคณิตศาสตร์อาศัยการคำนวณเฉพาะกรณี(special  Case)  ดังนั้นจึงปรากฏว่า  มีทฤษฎีบทบางทฤษฎีบทอาจจะไม่ถูกต้องสมบูรณ์  เนื่องจากยังไม่มีข้อพิสูจน์ยืนยัน

                การพิสูจน์โดยเหตุผลเชิงนิรนัย  ทำให้แน่ใจได้ว่า  ทฤษฎีบทนั้น  ๆ  ถูกต้อง  ตัวอย่าง  เช่น  ชาวอียิปต์สมัยโบราณมีความรู้ที่ได้จากปรุสบการณ์การทดลองว่า  ถ้ารูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็น 3 , 4 และ  5  แล้ว  จะได้ผลว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  ต่อมาชาวกรีกโบราณก็สามารถพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทได้ว่า  ถ้ามีรูปสามที่มีความยาวของด้านเป็น a , b, c    หน่วย  โดยเงื่อนไขว่า  ผลบวกของ a²  กับ  b²   เท่ากับ c²  แล้วจะได้ผลว่า  รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  ซึ่งถ้าใช้เหตุผลเชิงอุปนัยก็ต้องหาตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมจำนวนนับไม่ถ้วน  มาแสดงความจริงข้อนี้

                นักคณิตศาสตร์พยายามสร้างระบบที่ถูกต้องตามหลักเหตุผลขึ้นมาจากความต้องการนี้  จึงเห็นว่าในการที่จะให้ระบบที่สร้างขึ้นถูกต้องสมบูรณ์  ก็ต้องมีความเข้าใจร่วมกัน(Mutually  Understanding)  หรือมีความเข้าใจตรงกันต่อความหมายต่าง  ๆ  เป็นต้นว่า  ความหมายของคำ  หรือ  พจน์(Term)  หรือสัญลักษณ์ต่าง  ๆ  ที่ใช้  ตลอดจนข้อตกลงขันมูลฐาน(Axiom  ,  Postulate, Assumption)  หรือที่เรียกอีกอย่างหนึ่งเป็นศัพท์ทางวิชาการว่า  สัจพจน์  แล้วจึงเกิดทฤษฎีบทต่าง  ๆ  ขึ้นระบบที่นักคณิตศาสตร์ว่าถูกต้อง  จึงเกิดเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์(Mathematical  Structure)  หรือ  ระบบคณิตศาสตร์(Mathematical  System)

                องค์ประกอบของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มีดังนี้

                        1.พจน์อนิยาม(Undefined  Term)  หรือพจน์ที่ไม่ต้องให้คำจำกัดความ

                        2.พจน์นิยาม(Defined  Term)  หรือพจน์ที่ให้คำจำกัดความ

                        3.สัจพจน์  หรือ  ข้อตกลงขั้นมูลฐาน

                        4.ทฤษฎีบท

                        ในที่นี้จะกล่าวถึงองค์ประกอบของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์แต่ละอย่าง  พอเป็นพื้นฐานให้เกิดความเข้าใจเท่านั้น

                        1.พจน์อนิยาม

                        อาจจะมีบางคนเข้าใจว่า  พจน์หรือคำต่าง  ๆ  ทุก  ๆ  คำ  ควรให้เป็นคำจำกัดความได้  โดยอธิบาย  พจน์นั้นมีความหมายว่าอย่างไร  ตัวอย่าง  เช่น  ต้องการให้คำจำกัดความของคำว่า”ญาติ”

สังเกตได้ว่า  การให้คำจำกัดความของคำ  ๆ  หนึ่งนั้น  ได้เกิดการวกเวียนกลับมาใช้คำเดิมในการอธิบายความหมายอีก  เพราะภาษาที่ใช้พูดประจำวันมีคำพูดอยู่จำกัดอยู่จำนวนหนึ่ง  ถึงแม้จะมีคำพูดมากมายเพียงใดก็ตาม  ก็นับว่ามีอยู่อย่างจำกัด  ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสร้างระบบเหตุผลหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์โดยให้มีคำบางคำ  หรือพจน์บางพจน์  เป็นพจน์ที่ไม่ต้องให้คำจำกัดความ  แต่ต้องทราบความหมายให้ตรงกัน

                        ในทางคณิตศาสตร์ก็มีบางคำที่ไม่สามารถอธิบายความหมายได้  เช่นคำว่า  จุดเส้น  แต่คำทั้งสองนี้เรารูจักและคุ้นเคยกันมาแล้ว  หรือสร้างความคุ้นเคยให้เกิดขึ้นได้

                พจน์ซึ่งไม่สามารถนำคำอื่นมาอธิบายได้  จึงเรียกว่า  พจน์อนิยาม  หรือเรียก สั้น  ๆ  ว่า  อนิยาม

                        ตัวอย่างพจน์ที่เป็นอพจน์นิยาม  เช่น  ถูก  ผิด  จริง  เท็จ  มาก  น้อย  พอดี  รัก  ชอบ  น่าเกลียด  ชัง  อยู่ใน  เป็นสมาชิก  เซต  เป็นต้น

                        2.พจน์นิยาม

                          คำหรือพจน์ที่สามารถนำคำอื่นมาอธิบายให้เข้าใจได้ง่ายโดยไม่เกิดการวกเวียน  ก็จะเป็นคำหรือพจน์ที่ให้คำจำกัดความได้  จึงเรียกคำที่ให้คำจำกัดความได้นี้ว่า   พจน์นิยาม  และต้องไม่ลืมว่าคำบางคำเท่านั้นที่สามารถกำหนดพจน์นิยามได้

                        การกำหนดพจน์นิยามควรยึดหลักดังนี้

                            ก.พจน์นิยามที่ดีควรระบุคุณสมบัติที่ทำให้เข้าใจง่าย

                            ข.พจน์นิยามที่ดีควรมีความรัดกุม 

                            ค. พจน์นิยามที่ดีควรจะใช้คำ  พจน์อนิยาม  หรือคำที่เคยให้บทนิยามมาแล้ว

                            ง.คำหรือพจน์อันหนึ่ง  ควรกำหนดพจน์นิยามเพียงอย่างเดียว

                            จ. พจน์นิยามที่ดีต้องเป็นเงื่อนไขไปกลับ(Bicondition    หรือ   Equivalance)

ในรูป  p«q

    ฉ. พจน์นิยามที่ดีไม่ควรจะมีข้อโต้งเถียงซึ่งทำให้เกิดการขัดแย้งได้

    ช.ไม่ควรกำหนดพจน์นิยามขึ้นมาแล้วไม่เคยนำมาใช้ในระบบเลย

    ซ. พจน์นิยามที่ดีเมื่อกำหนดแล้วก็ต้องบอกได้ว่า  สิ่งใดเป็นไปตามพจน์

นิยามนั้น  หรือสิ่งใดไม่เป็นไปตามพจน์นั้น

บทที่ 1

บทที่ 1

บทนำ

สัจพจน์  (axioma)

คำว่า "สัจพจน์" มาจากคำ ἀξίωμα (axioma) ในภาษากรีกซึ่งแปลว่า "ยกให้มีค่ายิ่ง" หรือ "ต้องการอย่างยิ่ง" ซึ่งแผลงมาจากคำว่า ἄξιος (axsios) และ ἄγω (ago) ตามลำดับ โดยรากศัพท์เริ่มต้น ἄγω (ago) นั้นเป็นรากศัพท์ ในตระกูลภาษาก่อนอินโดยูโรเปียน ตรงกับคำว่า अजति (ago) ในภาษาสันสกฤต ซึ่งมีความหมายเหมือน กันคือ "การนำ" หรือ "การทำให้มีค่า" ต่อมานัก จึงใช้คำว่า axiom ในความหมายว่า ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

สำหรับคำว่า "สัจพจน์" เกิดจากการสมาสคำ ว่า "สจฺจ" ซึ่งแปลว่า "ความจริงแท้" กับ "พจฺน" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" "คำพูด" สัจพจน์จึงแปลว่า "ข้อความที่เป็นความจริงแท้" ส่วน "มูลบท" เกิดจากการสมาสคำว่า "มูล" ซึ่งแปลว่า "พื้นฐาน" กับ "บท" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" จึงแปลได้ว่า "ข้อความที่เป็นพื้นฐาน"

ประวัติในยุคกรีกโบราณ

การให้เหตุผลแบบนิรนัย ซึ่งเป็นหลักการสำคัญในคณิตศาสตร์ ยุคปัจจุบันนั้น ถูกคิดค้นขึ้นมาโดย นักปรัชญากรีกโบราณอย่างเป็นระบบ กระบวนการให้เหตุผลแบบนิรนัย เน้นการแสวงหาความรู้จากการอนุมานข้อมูลตั้งต้นหรือความรู้เดิม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีความรู้ชุดหนึ่งที่ได้รับ การยอมรับมาก่อนอยู่แล้วจึงจะสามารถอนุมานไปยังความรู้อื่นๆ ได้ นักปรัชญากรีกโบราณ จึงเรียกความรู้ชุดที่เป็นสมมติฐานพื้นฐานนี้ว่า "สัจพจน์" ซึ่งได้รับการยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ และ ทฤษฎีบท อื่นจะต้องได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานของ "สัจพจน์" เหล่านี้ แต่อย่างไรก็ดี การตีความความรู้ทางคณิตศาสตร์ จากโบราณจนถึงปัจจุบันนั้นเปลี่ยนไป จึงทำให้ชุด "สัจพจน์" พื้นฐานทางคณิตศาสตร์จากยุค อริสโตเติลและ ยูคลิด เปลี่ยนไปเล็กน้อย

ชาวกรีกโบราณจัดให้ ตรีโกณมิติ เป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์และเชื่อมโยง ทฤษฎีบททางตรีโกณมิติไปกับข้อเท็จจริงทางวิทยาศาสตร์ ชาวกรีกได้จัดระบบทางวิทยาศาสตร์โดยใช้การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นมาตรฐานเพื่อป้องกันข้อผิดพลาด เพื่อสร้างความรู้ใหม่และใช้สื่อสารระหว่างกัน จนในที่สุดอริสโตเติล ก็ได้ สรุปความรู้ต่างๆ ในยุคนี้เป็นระบบไว้อย่างละเอียดในหนังสือที่ชื่อว่า Posterior Analytics  แต่เดิมนั้นคำว่า "สัจพจน์" หรือ "axiom" ใช้ในความหมายว่า ประโยคที่คนส่วนใหญ่อ่านแล้วเข้าใจโดยไม่ต้องพิสูจน์ให้เห็น ยกตัวอย่างเช่น สมการที่ถูกลบด้วยค่าเท่ากันทั้งสองข้างก็ยังเป็นสมการอยู่ เป็นประโยคที่คนส่วนใหญ่เชื่อโดยไม่ต้องพิสูจน์ ในขณะที่ทฤษฎีบทอย่างทฤษฎีบทปีทากอรัส เป็นทฤษฎีบทที่ซับซ้อนจนต้องพิสูจน์จึงจะทำให้คนส่วนใหญ่เชื่อได้  หลังจากที่วิทยาศาสตร์แตกแขนงไปหลายๆ สาขาซึ่งอยู่บนพื้นฐานของสมมติฐานคนละชุด เรามักจะเรียกสมมติฐานพื้นฐานเฉพาะสาขานั้นๆ ว่า "มูลบท" ในขณะที่ "สัจพจน์" มักใช้ในความหมายของวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป   เมื่อยูคลิด ได้รวบรวมระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์เอาไว้ในหนังสือ The Elements ได้รวบรวมมูลบท ซึ่งยูคลิด หมายถึงหลักการทางเรขาคณิต ที่สอดคล้องกับประสบการณ์และสามัญสำนึก กับ Common notions ซึ่งยูคลิด หมายถึงข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ไม่ต้องพิสูจน์หรือสัจพจน์นั่นเอง

ในประวัติศาสตร์ กรีกเป็นชาติแรกซึ่งพัฒนาสัญลักษณ์ของตรรกศาสตร์ ที่ค้นพบจากรากฐานของ Initial Statements ซึ่งเป็นข้อสมมุติจากนอกเซต อริสโตเติล Aristotle (เกิดเมื่อประมาณ 384 หรือ 383 ปีก่อนคริสตกาล ที่เมืองสตากีรา (Stagira) ในแคว้นมาเซโดเนีย (Macedonia) ซึ่งเป็นแคว้นที่แห้งแล้งทางตอนเหนือสุดชองทะเลเอเจียน (Aegaeen Sea) ของประเทศกรีก เป็นบุตรชายของนายนิโคมาคัส (Nicomachus) ซึ่งมีอาชีพทางการแพทย์ประจำอยู่ที่เมืองสตาราเกีย และยังเป็นแพทย์ประจำพระองค์ของพระเจ้าอมินตัสที่ 2 (King Amyntas II) แห่งมาเซโดเนีย)อริสโตเติล ได้บันทึกไว้ว่า “วิทยาศาสตร์ที่สามารถทดลองได้ทุกเรื่อง จะเริ่มต้นมาจากหลักการที่ไม่สามารถทดลองได้ หรือไม่ก็ขั้นนั้นของการทดลองจบลงอย่างสั้นในตัวแล้ว”

                ยูคลิด (Euclid)เป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี ยูคลิดเกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอิยิปต์ เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล มีชีวิตอยู่จนกระทั่งประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล  งานของยูคลิค ใน The element  ซึ่งเขียนประมาณ 300 B.C. ได้พัฒนาโครงสร้างระบบสัจพจน์โดยพื้นฐานของนิยามและความเข้าใจง่ายๆ เช่น (Axiom / postulate) ใน The element ของเขากล่าวได้ว่า

                1. จะสามารถลากเส้นตรงจากจุดใดๆ จุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เส้นเดียว

                2. จะสามารถลากเส้นตรงให้ยาวออกไปได้ไม่สิ้นสุด

                3. เพื่อจะอธิบายวงกลมได้ จะต้องกำหนดศูนย์กลางและรัศมี

                4. มุมฉากทุกๆมุม จะต้องเท่ากัน

                5. ถ้าเส้นตรงทุกเส้นหนึ่ง ตัดเส้นตรงสองเส้น ทำให้มุมภายในข้าวเดียวกันของเส้นตรงตัดรวมกัน ได้น้อยกว่าสองมุมฉากแล้ว เส้นตรงคู่นั้นจะพบกันทางด้านที่บวกของมุมทั้งสองรวมกันได้น้อยกว่าสองมุมฉากนั้น

                ความเข้าใจง่ายๆ The element ของยูคลิค กล่าวไว้ว่า

                1. สิ่งทั้งหลายที่ต่างเท่ากับสิ่งที่เท่ากับสิ่งหนึ่ง ย่อมเท่ากันหมด

                2. สิ่งสองสิ่งเท่ากัน ถ้าบวกด้วยสิ่งที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ย่อมเท่าด้วย

                3. สิ่งสองสิ่งเท่ากัน ถ้าลบด้วยสิ่งของที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ย่อมเท่าด้วย

                4. สิ่งซึ่งทับกันสนิท (coincide) สิ่งต่อสิ่ง แล้ว สิ่งหนึ่งจะเทากับอีกสิ่งหนึ่ง

                5. จำนวนทั้งหมด (whole) ย่อมมากส่วนย่อย (part)

                สิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิดทฤษฏีต่างๆตามมา  งานของยูคลิคใน The element  เป็นงานที่สร้างชื่อเสียง  ที่เน้นวิธีการและเนื้อหาในทางที่สามารถพิสูจน์ได้โดยสมบูรณ์  ซึ่งเป็นแบบอย่างแรกเริ่มไว้  สำหรับวิธีการของยูคลิดที่ใช้นั้น อาร์คิมีดีส ก็ได้นำไปใช้ด้วย  อาร์คิมีดีส (Archimedes) เกิดเมื่อ 287 ปีก่อนคริสตกาล  เสียชีวิต เมื่อ 212 ปีก่อนคริสตกาล (อายุประมาณ 75 ปี)